Exercício 8 do 1º Teste de Matemática I – 2022 (ISCTAC)

Exercício 8.

a) Encontre a matriz de \(A\)

b) Encontre o valor de ” \(z\) ”

c) Determinar \(A^{-1}\). Usado método de eliminação de Gauss

d) Encontre \([A * B]\)

RESOLUÇÃO

Vamos resolver cada parte do problema passo a passo:

a) Encontre a matriz \( A \):

Dada a definição de \( A \):

\[ A_{2\times2} = \begin{cases} i-2j, & \text{se } i=j \\ j+i, & \text{se } i>j \\ 2i+j, & \text{se } j>i \end{cases} \]

Podemos preencher os elementos da matriz \( A \) de acordo com essas condições:

\[ A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \]

b) Encontre o valor de \( z \) sabendo que \( A = B \):

Comparando as duas matrizes, vemos que o elemento na primeira linha e primeira coluna de \( B \) deve ser igual a 0, pois na matriz \( A \) corresponde à expressão \( i – 2j \) quando \( i = j = 1 \). Portanto, \( z = 0 \).

c) Determinar \( A^{-1} \) usando o método de eliminação de Gauss:

Primeiro, escrevemos a matriz aumentada \( [A | I] \), onde \( I \) é a matriz identidade \( 2 \times 2 \):

\[ [A | I] = \left( \begin{array}{cc|cc} 0 & -1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 1 \end{array} \right) \]

Vamos usar o método de eliminação de Gauss para transformar a parte esquerda (matriz \( A \)) na identidade, enquanto aplicamos as mesmas operações à matriz identidade à direita:

1. Subtrair \( 2 \) vezes a primeira linha da segunda linha:

\[ \left( \begin{array}{cc|cc} 0 & -1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 1 \end{array} \right) \rightarrow \left( \begin{array}{cc|cc} 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & -2 & 1 \end{array} \right) \]

2. Multiplicar a segunda linha por \( \frac{1}{3} \) para obter um \( 1 \) no segundo elemento da diagonal:

\[ \left( \begin{array}{cc|cc} 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & -2 & 1 \end{array} \right) \rightarrow \left( \begin{array}{cc|cc} 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} \end{array} \right) \]

3. Adicionar a segunda linha à primeira linha:

\[ \left( \begin{array}{cc|cc} 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} \end{array} \right) \rightarrow \left( \begin{array}{cc|cc} 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} \end{array} \right) \]

4. Multiplicar a primeira linha por \( -1 \):

\[ \left( \begin{array}{cc|cc} 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} \end{array} \right) \rightarrow \left( \begin{array}{cc|cc} 0 & 0 & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\ 0 & 1 & -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} \end{array} \right) \]

5. Subtrair \( -\frac{2}{3} \) vezes a segunda linha da primeira linha:

\[ \left( \begin{array}{cc|cc} 0 & 0 & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\ 0 & 1 & -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} \end{array} \right) \rightarrow \left( \begin{array}{cc|cc} 0 & 0 & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\ 0 & 1 & -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} \end{array} \right) \]

Portanto, \( A^{-1} = \left( \begin{array}{cc} -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\ -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} \end{array} \right) \).

d) Encontre \( A*B \):

\[ A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \]

\[ B = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \]

Para calcular \( A*B \), fazemos a multiplicação de matrizes comum:

\[ A*B = \begin{pmatrix} 0*0 + (-1)*2 & 0*(-1) + (-1)*1 \\ 2*0 + 1*2 & 2*(-1) + 1*1 \end{pmatrix} \]

\[ A*B = \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \]