Resolução do Exame de Matemática 10ª classe (2021) – 1ª Chamada

Exame de Matemática 10ª classe (2023) – 1ª Chamada

Vídeo de Resolução do Exame de Matemática 10ª classe (2021) – 1ª Chamada

Melhor resolução 👆👆👆 em Video

Leitura: Resolução do Exame de Matemática 10ª classe (2021) – 1ª Chamada

1. Assinale com (V) verdadeiras, ou com (F) falsas, as afirmações que se seguem:

a) \((2x^2 + 3x) + (-x^2 + 5) = 3x\)

– Resolvendo:
\[
(2x^2 + 3x) + (-x^2 + 5) = 2x^2 – x^2 + 3x + 5 = x^2 + 3x + 5
\]
Não é igual a \(3x\). Logo, a afirmação é **Falsa** (F).

b) \(-4 \cdot (2x^2 + 3x) = -4x \cdot (2x + 3)\)

– Resolvendo:
\[
-4 \cdot (2x^2 + 3x) = -8x^2 – 12x
\]
\[
-4x \cdot (2x + 3) = -8x^2 – 12x
\]
As expressões são iguais. Logo, a afirmação é **Verdadeira** (V).

c) \(x^3y^2 – 2xy = x^2y\)

– Resolvendo:
Não é possível simplificar diretamente essa expressão para \(x^2y\). Logo, a afirmação é **Falsa** (F).

d) O termo \(x^3y^2\) é do 5º grau.

– O grau de um termo é a soma dos expoentes de \(x\) e \(y\). Aqui temos \(3\) para \(x\) e \(2\) para \(y\), portanto, o grau é \(5\). Logo, a afirmação é **Verdadeira** (V).

—

2. Complete os espaços em branco com os símbolos \( \subset, \supset, \in, \notin, = \).

a) \( 0 \, \underline{\notin} \, \mathbb{R}^+ \) (zero não pertence ao conjunto dos números reais positivos)

b) \( \mathbb{N} \, \underline{= } \, \mathbb{Z}_0^+ \) (os números naturais são todos inteiros não negativos)

c) \( \mathbb{R}^- \, \underline{\supset} \, \mathbb{Z}^- \) (os reais negativos contêm os inteiros negativos)

d) \( \mathbb{N} \, \underline{\subset } \, \mathbb{Q} \) (os números naturais estão contidos no conjunto dos racionais)

e) \( \frac{-2}{3} \, \underline{\in} \, \mathbb{Q} \) (um número fracionário pertence ao conjunto dos racionais)

—

3. Simplifique as expressões:

a) \( \frac{1 – y}{y^2 – 1} = \frac{1 – y}{(y – 1)(y + 1)} \)

– Podemos reescrever \(1 – y\) como \(-(y – 1)\), logo:
\[
\frac{-(y – 1)}{(y – 1)(y + 1)} = \frac{-1}{y + 1}
\]
Portanto, a simplificação é:
\[
\boxed{-\frac{1}{y + 1}}
\]

b) \( \frac{2a}{2a + 4} = \frac{2a}{2(a + 2)} = \frac{a}{a + 2} \)

—

4. Considere a equação paramétrica \(mx^2 – 8x – 5 = 0\). Determine \(m\):

a) Para que a soma das raízes seja igual a 2:

– Pela fórmula de soma das raízes em uma equação quadrática \(ax^2 + bx + c = 0\), sabemos que a soma das raízes é dada por:
\[
\text{soma das raízes} = -\frac{-8}{m} = \frac{8}{m}
\]
Se a soma das raízes é igual a 2, temos:
\[
\frac{8}{m} = 2 \implies m = \frac{8}{2} = 4
\]

b) De modo que a equação tenha raiz única:

– Para que a equação tenha uma raiz única, o discriminante deve ser igual a zero:
\[
\Delta = b^2 – 4ac = 0
\]
Para a equação \(mx^2 – 8x – 5 = 0\), temos:
\[
\Delta = (-8)^2 – 4(m)(-5) = 64 + 20m = 0
\]
Resolvendo:
\[
20m = -64 \implies m = -\frac{64}{20} = -\frac{16}{5}
\]

Portanto, \(m = -\frac{16}{5}\) para que haja uma raiz única.

 

5. Numa empresa de construção, foram entrevistados 779 candidatos, dos quais 327 são pedreiros, 251 são canalizadores e 221 não são pedreiros nem canalizadores.

a) Represente os dados num diagrama de Venn.

– O conjunto total de candidatos é 779.
– Sabemos que 221 candidatos não são pedreiros nem canalizadores.
– A quantidade de pedreiros é 327 e de canalizadores é 251.
– Chamaremos de \(x\) o número de candidatos que são tanto pedreiros quanto canalizadores.

– Número total de pedreiros e canalizadores:
\[
327 + 251 – x = 779 – 221
\]
\[
578 – x = 558 \implies x = 20
\]

Portanto, 20 candidatos são tanto pedreiros quanto canalizadores.

b) Qual é o número de candidatos que são pedreiros e canalizadores?
– A resposta é 20 candidatos (calculado acima).

c) Qual é o número de candidatos que são somente pedreiros?
– O número de candidatos que são apenas pedreiros é:
\[
327 – 20= 307
\]
Portanto, 307 candidatos são apenas pedreiros.

—

6. Resolva:

a) \(\left( 0,04 – \frac{2}{5} \right) \cdot 5\)

– Primeiro, calcule \(0,04 – \frac{2}{5}\):
\[
0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25}, \quad \frac{2}{5} = 0,4
\]
\[
0,04 – 0,4 = -0,36
\]
– Agora multiplique por 5:
\[
-0,36 \times 5 = -1,8
\]
Portanto, a resposta é \(-1,8\).

b) \(\sqrt{8} + \sqrt{18} – \sqrt{2}\)

– Simplifique as raízes:
\[
\sqrt{8} = 2\sqrt{2}, \quad \sqrt{18} = 3\sqrt{2}, \quad \sqrt{2} = \sqrt{2}
\]
Agora some e subtraia:
\[
2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} – \sqrt{2} = (2 + 3 – 1)\sqrt{2} = 4\sqrt{2}
\]
Portanto, a resposta é \(4\sqrt{2}\).

—

7. Dada a função \(f(x)\), representada no gráfico:

a) Quais são os zeros da função?
– Os zeros da função são os valores de \(x\) onde \(f(x) = 0\), que no gráfico são \(x = -4\) e \(x = 0\).

b) Qual é o domínio da função?
– O domínio é o conjunto de todos os valores de \(x\) para os quais a função está definida. Neste caso, como a parábola é aberta e continua indefinidamente, o domínio é:
\[
\mathbb{R} \quad \text{(todos os números reais)}
\]

c) Qual é o contradomínio da função?
– O contradomínio é o conjunto de valores possíveis para \(f(x)\). Como a parábola tem um valor mínimo em \(y = -1\) e se estende para \(+\infty\), o contradomínio é:
\[
[-1, +\infty)
\]

d) Qual é a ordenada na origem?
– A ordenada na origem é o valor de \(f(x)\) quando \(x = 0\). No gráfico, a ordenada é:
\[
f(0) = 0
\]

e) Qual é a variação do sinal da função?
– A função é negativa no intervalo \((-4, 0)\) e positiva fora desse intervalo. Logo, a variação do sinal ocorre nos intervalos:
\[
f(x) < 0 \quad \text{para} \quad x \in (-4, 0) \] \[ f(x) > 0 \quad \text{para} \quad x \in (-\infty, -4) \cup (0, +\infty)
\]

f) Qual é a variação da função?
– A variação da função corresponde ao conjunto dos valores que \(f(x)\) assume. A função atinge seu valor mínimo em \(y = -1\) e cresce indefinidamente. Logo, a variação é:
\[
\text{Variação} = [-1, +\infty)
\]

g) Determine a expressão analítica da função.
– A função tem a forma geral de uma parábola \(f(x) = a(x – h)^2 + k\). A partir do gráfico, vemos que o vértice da parábola está em \((-2, -1)\), então temos:
\[
f(x) = a(x + 2)^2 – 1
\]
Se usarmos o ponto \(x = 0\) e \(f(0) = 3\), podemos determinar o valor de \(a\) na equação da parábola.

A equação geral é:
\[
f(x) = a(x + 2)^2 – 1
\]

Agora, substituímos \(x = 0\) e \(f(0) = 3\):
\[
3 = a(0 + 2)^2 – 1
\]
\[
3 = a(4) – 1
\]
\[
3 + 1 = 4a
\]
\[
4 = 4a \implies a = 1
\]

Portanto, a equação da função é:
\[
f(x) = (x + 2)^2 – 1
\]