3. Determinar as seguintes integrais

ISCT – ALBERTO CHIPANDE – 1º TESTE DE MATEMÁTICA I – 2022

Exercício 3. Determinar as seguintes integrais.

• a) \(\int x \cos \left(x^{2}\right) d x \)
• b) \(\int \sqrt{x^{3}-5 x^{4}}\left(3 x^{2}-20 x^{3}\right) d x\).

Para resolver as integrais fornecidas, podemos usar técnicas como substituição e simplificação da expressão.

  a) \(\int x \cos \left(x^{2}\right) \, dx \)

Para resolver esta integral, vamos usar a substituição.

Defina \( u = x^2 \), então \( du = 2x \, dx \) ou \( dx = \frac{du}{2x} \).

Substituindo na integral:

\[\int x \cos \left(x^{2}\right) \, dx = \int x \cos(u) \cdot \frac{du}{2x} = \frac{1}{2} \int \cos(u) \, du\]

Agora, a integral se simplifica para:

\[\frac{1}{2} \int \cos(u) \, du = \frac{1}{2} \sin(u) + C\]

Substituindo \( u \) de volta para \( x^2 \):

\[\frac{1}{2} \sin(x^2) + C\]

Portanto,

\[\int x \cos \left(x^{2}\right) \, dx = \frac{1}{2} \sin(x^2) + C\]

 b) \(\int \sqrt{x^{3}-5 x^{4}}\left(3 x^{2}-20 x^{3}\right) \, dx\)

Para resolver esta integral, vamos usar substituição. Defina \( u = x^{3} – 5 x^{4} \). Então,

\[du = (3x^2 – 20x^3) \, dx\]

Assim, a integral se torna:

\[\int \sqrt{u} \, du\]

A integral de \(\sqrt{u}\) é:

\[\int u^{1/2} \, du = \frac{2}{3} u^{3/2} + C\]

Voltando a substituição para \( u = x^3 – 5x^4 \):

\[\frac{2}{3} (x^{3} – 5 x^{4})^{3/2} + C\]

Portanto,

\[\int \sqrt{x^{3}-5 x^{4}}\left(3 x^{2}-20 x^{3}\right) \, dx = \frac{2}{3} (x^{3} – 5 x^{4})^{3/2} + C\]

Resumo

– Integral (a): \(\int x \cos \left(x^{2}\right) \, dx = \frac{1}{2} \sin(x^2) + C\)

– Integral (b): \(\int \sqrt{x^{3}-5 x^{4}}\left(3 x^{2}-20 x^{3}\right) \, dx = \frac{2}{3} (x^{3} – 5 x^{4})^{3/2} + C\)