Exercício 7 – Exame Matemática 10ª classe (2001) – 1ª Chamada

Resolução do Exercício 7 – Exame Matemática 10ª classe (2001) – 1ª Chamada

Vamos abordar cada parte das questões de forma detalhada.

a) Simplifique \( \frac{\operatorname{sen}^{2} x – \cos^{2} x}{\operatorname{sen} x – \cos x} \)

Para simplificar a expressão \(\frac{\operatorname{sen}^{2} x – \cos^{2} x}{\operatorname{sen} x – \cos x}\), podemos utilizar identidades trigonométricas.

Primeiro, aplicamos a identidade de diferença de quadrados:

\[ a^2 – b^2 = (a + b)(a – b) \]

Aqui, \(a = \operatorname{sen} x\) e \(b = \cos x\):

\[ \operatorname{sen}^{2} x – \cos^{2} x = (\operatorname{sen} x + \cos x)(\operatorname{sen} x – \cos x) \]

Substituindo na fração:

\[ \frac{\operatorname{sen}^{2} x – \cos^{2} x}{\operatorname{sen} x – \cos x} = \frac{(\operatorname{sen} x + \cos x)(\operatorname{sen} x – \cos x)}{\operatorname{sen} x – \cos x} \]

Cancelando \(\operatorname{sen} x – \cos x\) no numerador e denominador (desde que \(\operatorname{sen} x \neq \cos x\)):

\[ = \operatorname{sen} x + \cos x \]

Resultado simplificado:

\[ \frac{\operatorname{sen}^{2} x – \cos^{2} x}{\operatorname{sen} x – \cos x} = \operatorname{sen} x + \cos x \]

b) Sabendo que \( \operatorname{sen} x = \frac{1}{2} \) e \( x \in 1^{\circ} \mathrm{Q} \) (primeiro quadrante), determine \( \cos x \).

Para determinar \( \cos x \) dado \( \operatorname{sen} x = \frac{1}{2} \) e sabendo que \( x \) está no primeiro quadrante, utilizamos a identidade fundamental da trigonometria:

\[ \operatorname{sen}^{2} x + \cos^{2} x = 1 \]

Substituindo \(\operatorname{sen} x\):

\[ \left(\frac{1}{2}\right)^{2} + \cos^{2} x = 1 \]

Calculamos \(\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\):

\[ \frac{1}{4} + \cos^{2} x = 1 \]

Isolamos \(\cos^{2} x\):

\[ \cos^{2} x = 1 – \frac{1}{4} \]

\[ \cos^{2} x = \frac{3}{4} \]

Tiramos a raiz quadrada dos dois lados:

\[ \cos x = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} \]

Simplificando:

\[ \cos x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \]

No primeiro quadrante, tanto o seno quanto o cosseno são positivos. Portanto:

\[ \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Resultado:

\[ \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Resumo

a) A simplificação de \( \frac{\operatorname{sen}^{2} x – \cos^{2} x}{\operatorname{sen} x – \cos x} \) é:

\[ \operatorname{sen} x + \cos x \]

b) Se \( \operatorname{sen} x = \frac{1}{2} \) no primeiro quadrante, então \( \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \).