1. Seja f(x) = 2x^2 − x no ponto x = −1

ISCT – ALBERTO CHIPANDE – 1º TESTE DE MATEMÁTICA I – 2022

Exercício 1. Seja f(x) = 2x^2 − x  no ponto x = −1

•  a) Encontrar a derivada por definição
• b) Encontrar equação da recta tangente e constrói gráfico do mesmo

Vamos resolver o problema da função \( f(x) = 2x^2 – x \) no ponto \( x = -1 \): indicando a derivada por definição; a equação da reta tangente e construir gráfico do mesmo

Seja f(x) = 2x^2 − x no ponto x = −1

 a) Encontrar a derivada por definição

A derivada de \( f(x) \) no ponto \( x = a \) é dada por:

\[ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) – f(a)}{h} \]

Para a função \( f(x) = 2x^2 – x \) no ponto \( x = -1 \):

1. Calcule \( f(a + h) \):

   Substitua \( x \) por \( -1 + h \):

   \[ f(-1 + h) = 2(-1 + h)^2 – (-1 + h) \]

2. Expanda \( f(-1 + h) \):

   \[ (-1 + h)^2 = 1 – 2h + h^2 \]

   \[ f(-1 + h) = 2(1 – 2h + h^2) – (-1 + h) \]

   \[ = 2 – 4h + 2h^2 + 1 – h \]

   \[ = 2h^2 – 5h + 3 \]

3. Calcule \( f(-1) \):

   \[ f(-1) = 2(-1)^2 – (-1) = 2 + 1 = 3 \]

4. Substitua na fórmula da derivada:

   \[ f'(-1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(-1 + h) – f(-1)}{h} \]

   \[ = \lim_{h \to 0} \frac{2h^2 – 5h + 3 – 3}{h} \]

   \[ = \lim_{h \to 0} \frac{2h^2 – 5h}{h} \]

   \[ = \lim_{h \to 0} (2h – 5) \]

5. Calcule o limite:

   \[ f'(-1) = -5 \]

 b) Encontrar a equação da reta tangente e construir gráfico do mesmo

A equação da reta tangente a uma função \( f(x) \) no ponto \( x = a \) é dada por:

\[ y = f'(a)(x – a) + f(a) \]

Para \( f(x) = 2x^2 – x \) no ponto \( x = -1 \):

1. Derivada: \( f'(-1) = -5 \)

2. Valor da função no ponto: \( f(-1) = 3 \)

Então, a equação da reta tangente é:

\[ y = -5(x + 1) + 3 \]

\[ y = -5x – 5 + 3 \]

\[ y = -5x – 2 \]

 Gráfico

Vamos construir o gráfico da função \( f(x) = 2x^2 – x \) e da reta tangente \( y = -5x – 2 \) no ponto \( x = -1 \).

– A função \( f(x) \) está representada pela linha azul.

– A reta tangente \( y = -5x – 2 \) está representada pela linha tracejada vermelha.

– O ponto de tangência \( (-1, 3) \) está marcado com um ponto vermelho.

 Resumo dos resultados:

– Derivada por definição: \( f'(-1) = -5 \)

– Equação da reta tangente: \( y = -5x – 2 \)