5. Determine os seguintes limites

ISCT – ALBERTO CHIPANDE – 1º TESTE DE MATEMÁTICA I – 2022

Exercício 5. Determine os seguintes limites:

• a) \(\lim _{x \rightarrow \infty}=\sqrt{x^{2}+3}-x\)
  b) \(\lim _{x \rightarrow \infty}=\left(\frac{2 x+1}{2 x}\right)^{x^{2}-2 x}\).

Para determinar os limites dados, vamos analisar cada um com métodos adequados.

 a) \(\lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt{x^{2}+3} – x\)

Para resolver este limite, observe que a expressão \(\sqrt{x^2 + 3}\) pode ser manipulada para simplificar a análise conforme \(x \to \infty\). Uma técnica útil é multiplicar e dividir por \(\sqrt{x^2 + 3} + x\) para racionalizar:

\[ \sqrt{x^2 + 3} – x = \frac{(\sqrt{x^2 + 3} – x)(\sqrt{x^2 + 3} + x)}{\sqrt{x^2 + 3} + x} = \frac{x^2 + 3 – x^2}{\sqrt{x^2 + 3} + x} = \frac{3}{\sqrt{x^2 + 3} + x} \]

Agora, simplificando para \(x \to \infty\):

\[ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{3}{\sqrt{x^2 + 3} + x} \]

Como \(x \to \infty\), \(\sqrt{x^2 + 3} \approx x\), então:

\[ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{3}{x + x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{3}{2x} = 0 \]

Portanto,

\[ \lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt{x^2 + 3} – x = 0 \]

 b) \(\lim_{x \rightarrow \infty} \left(\frac{2 x+1}{2 x}\right)^{x^{2}-2 x}\)

Para resolver este limite, primeiro simplificamos a base da exponencial:

\[ \frac{2x + 1}{2x} = 1 + \frac{1}{2x} \]

Agora, o limite se torna:

\[ \lim_{x \rightarrow \infty} \left(1 + \frac{1}{2x}\right)^{x^2 – 2x} \]

Para resolver, observe que \(1 + \frac{1}{2x} \approx e^{\frac{1}{2x}}\) conforme \(x \to \infty\), o que sugere que podemos usar a forma exponencial \(e^y\) com \(y\) sendo uma função conveniente. Vamos analisar o logaritmo da expressão:

\[ \ln \left[ \left(1 + \frac{1}{2x}\right)^{x^2 – 2x} \right] = (x^2 – 2x) \ln \left(1 + \frac{1}{2x}\right) \]

Usando a aproximação \( \ln(1 + y) \approx y \) para \( y \to 0 \):

\[ \lim_{x \rightarrow \infty} (x^2 – 2x) \ln \left(1 + \frac{1}{2x}\right) \approx \lim_{x \rightarrow \infty} (x^2 – 2x) \cdot \frac{1}{2x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^2 – 2x}{2x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x}{2} – 1 = \infty \]

Assim,

\[ \lim_{x \rightarrow \infty} \left(1 + \frac{1}{2x}\right)^{x^2 – 2x} = e^{\infty} = \infty \]

Portanto,

\[ \lim_{x \rightarrow \infty} \left(\frac{2 x+1}{2 x}\right)^{x^{2}-2 x} = \infty \]

 Resumo dos Limites

– Limite (a): \(\lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt{x^{2}+3} – x = 0\)

– Limite (b): \(\lim_{x \rightarrow \infty} \left(\frac{2 x+1}{2 x}\right)^{x^{2}-2 x} = \infty\)