6. Determinar os valores de k para que g seja continua

ISCT – ALBERTO CHIPANDE – 1º TESTE DE MATEMÁTICA I – 2022

Exercício 6. Determinar os valores de k para que g seja continua para todos os valores de X. \[ g(x) = \begin{cases} 2k^3 x – 2k, & \text{se } x \leq -1 \\ 0, & \text{se } x > -1 \end{cases} \]

Para determinar os valores de \(k\) que tornam a função \(g(x)\) contínua para todos os valores de \(x\), devemos garantir que a função não tenha descontinuidades, especialmente no ponto crítico \(x = -1\), onde a definição da função muda.

 Função \(g(x)\)

A função \(g(x)\) é dada por:

\[ g(x) = \begin{cases} 2k^3 x – 2k, & \text{se } x \leq -1 \\ 0, & \text{se } x > -1 \end{cases} \]

 Condição para continuidade em \(x = -1\)

Para que \(g(x)\) seja contínua em \(x = -1\), precisamos que:

\[ \lim_{x \to -1^-} g(x) = \lim_{x \to -1^+} g(x) = g(-1) \]

1. Limite pela esquerda (\(x \to -1^-\)):

   Usamos a definição de \(g(x)\) para \(x \leq -1\):

   \[   \lim_{x \to -1^-} g(x) = \lim_{x \to -1^-} (2k^3 x – 2k)   \]

   Substituindo \(x = -1\) no limite:

   \[   \lim_{x \to -1^-} (2k^3 x – 2k) = 2k^3(-1) – 2k = -2k^3 – 2k   \]

2. Valor da função à direita (\(x \to -1^+\)):

   Pela definição de \(g(x)\) para \(x > -1\):

   \[   \lim_{x \to -1^+} g(x) = g(-1) = 0   \]

   Como a função é dada como \(0\) para \(x > -1\), podemos usar \(g(-1)\) como a expressão à direita, que deve ser igual a 0 para garantir continuidade.

3. Igualando os limites:

   Para continuidade em \(x = -1\), os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais:

   \[   -2k^3 – 2k = 0   \]

   Simplifique a equação:

   \[   -2k(k^2 + 1) = 0   \]

   \[   -2k(k^2 + 1) = 0 \implies k = 0 \quad \text{ou} \quad k^2 + 1 = 0   \]

   Para \(k^2 + 1 = 0\):

   \[   k^2 = -1   \]

   Como \(k^2 = -1\) não possui solução no conjunto dos números reais, a única solução real é:

   \[   k = 0   \]

 Conclusão

Para que a função \(g(x)\) seja contínua para todos os valores de \(x\), o valor de \(k\) deve ser:

\[\boxed{0}\]

 Verificação

Substituindo \(k = 0\) na função \(g(x)\):

\[g(x) = \begin{cases} 0, & \text{se } x \leq -1 \\ 0, & \text{se } x > -1 \end{cases}\]

Com \(k = 0\), a função \(g(x)\) se torna \(0\) para todos os \(x\), o que confirma a continuidade em todo \(x\).