Dada a equação 3x²-4x+5m = 0, determine o valor de m

Dada a equação 3x²-4x+5m = 0, determine o valor de m de modo que:

• Dada a equação 3x²-4x+5m = 0, determine o valor de m de modo que:
• a) Equação admita duas raízes reais e diferentes.
• b) o produto das raízes seja 2/3
• c)A equação admita uma raiz nula.
• d) 3 seja uma das raízes

Vamos resolver cada parte do problema para a equação \(3x^2 – 4x + 5m = 0\).

 a) Para que a equação admita duas raízes reais e diferentes:

Para que uma equação quadrática admita duas raízes reais e diferentes, o discriminante (\(\Delta\)) deve ser maior que zero. O discriminante para uma equação \(ax^2 + bx + c = 0\) é dado por:

\[ \Delta = b^2 – 4ac \]

Aplicando isso à equação \(3x^2 – 4x + 5m = 0\):

\[ \Delta = (-4)^2 – 4 \cdot 3 \cdot 5m \]

\[ \Delta = 16 – 60m \]

Para que a equação tenha duas raízes reais e diferentes, precisamos que \(\Delta > 0\):

\[ 16 – 60m > 0 \]

\[ 16 > 60m \]

\[ m < \frac{16}{60} \]

\[ m < \frac{4}{15} \]

Portanto, o valor de \(m\) deve ser:

\[ m < \frac{4}{15} \]

 b) Para que o produto das raízes seja \(\frac{2}{3}\):

Para uma equação quadrática \(ax^2 + bx + c = 0\), o produto das raízes é dado por \(\frac{c}{a}\). Para a equação \(3x^2 – 4x + 5m = 0\):

\[ \frac{5m}{3} = \frac{2}{3} \]

Multiplicando ambos os lados por 3:

\[ 5m = 2 \]

\[ m = \frac{2}{5} \]

Portanto, o valor de \(m\) deve ser:

\[ m = \frac{2}{5} \]

 c) Para que a equação admita uma raiz nula:

Para que uma equação quadrática \(ax^2 + bx + c = 0\) tenha uma raiz nula, o termo constante \(c\) deve ser zero. Na equação \(3x^2 – 4x + 5m = 0\), isso significa que:

\[ 5m = 0 \]

\[ m = 0 \]

Portanto, o valor de \(m\) deve ser:

\[ m = 0 \]

 d) Para que 3 seja uma das raízes:

Se \(x = 3\) é uma raiz da equação \(3x^2 – 4x + 5m = 0\), então substituímos \(x = 3\) na equação e resolvemos para \(m\):

\[ 3(3)^2 – 4(3) + 5m = 0 \]

\[ 3(9) – 12 + 5m = 0 \]

\[ 27 – 12 + 5m = 0 \]

\[ 15 + 5m = 0 \]

\[ 5m = -15 \]

\[ m = -3 \]

Portanto, o valor de \(m\) deve ser:

\[ m = -3 \]

Resumindo:

a) \( m < \frac{4}{15} \)

b) \( m = \frac{2}{5} \)

c) \( m = 0 \)

d) \( m = -3 \)