4. Tendo a sequência (4y, 2y – 1 e y + 1) sendo uma PG

ISCT – ALBERTO CHIPANDE – 1º TESTE DE MATEMÁTICA I – 2022

Tendo a sequência \( (4y, 2y – 1 \ e \ y + 1) \) sendo uma PG. Determinar:

• A) O valor de y
• B) Termo geral e a soma dos três primeiros termos
• C) Encontrar \(a_4; a_5; a_6; a_7; a_8; a_9 e a_10 \)

RESOLUÇÃO

Vamos resolver o problema da sequência \( (4y, 2y – 1, y + 1) \) sendo uma progressão geométrica (PG).

A) Determinar o valor de \( y \)

Para que a sequência \( (4y, 2y – 1, y + 1) \) seja uma progressão geométrica, a razão entre termos consecutivos deve ser constante.

Ou seja, a razão \( \frac{2y – 1}{4y} \) deve ser igual à razão \( \frac{y + 1}{2y – 1} \).\[ \frac{2y – 1}{4y} = \frac{y + 1}{2y – 1} \]Multiplicando em cruz:\[ (2y – 1)^2 = 4y(y + 1) \]Expandindo e simplificando:\[ 4y^2 – 4y + 1 = 4y^2 + 4y \]\[ -4y + 1 = 4y \]\[ 1 = 8y \]\[ y = \frac{1}{8} \]

B) Termo geral e soma dos três primeiros termos

Agora, substituímos \( y = \frac{1}{8} \) na sequência original:\[ a_1 = 4y = 4 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{2} \]\[ a_2 = 2y – 1 = 2 \cdot \frac{1}{8} – 1 = \frac{1}{4} – 1 = -\frac{3}{4} \]\[ a_3 = y + 1 = \frac{1}{8} + 1 = \frac{1}{8} + \frac{8}{8} = \frac{9}{8} \]Os termos \( \frac{1}{2} \), \( -\frac{3}{4} \), \( \frac{9}{8} \) estão em PG com razão \( r \):\[ r = \frac{a_2}{a_1} = \frac{-\frac{3}{4}}{\frac{1}{2}} = -\frac{3}{2} \]O termo geral da PG é dado por:\[ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} \]A soma dos três primeiros termos:\[ S_3 = a_1 + a_2 + a_3 = \frac{1}{2} + \left(-\frac{3}{4}\right) + \frac{9}{8} \]Calculando \( S_3 \):\[ S_3 = \frac{1}{2} + \left(-\frac{3}{4}\right) + \frac{9}{8} \]\[ S_3 = \frac{4}{8} – \frac{6}{8} + \frac{9}{8} \]\[ S_3 = \frac{4 – 6 + 9}{8} \]\[ S_3 = \frac{7}{8} \]

C) Encontrar \( a_4 \), \( a_5 \), \( a_6 \), \( a_7 \), \( a_8 \), \( a_9 \) e \( a_{10} \)

Usando o termo geral \( a_n = a_1 \cdot r^{n-1} \): \[ a_1 = \frac{1}{2} \]\[ r = -\frac{3}{2} \].

Calculamos os termos de \( a_4 \) a \( a_{10} \):

\[ a_4 = a_1 \cdot r^{3} = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)^3 \\ = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{27}{8}\right) = -\frac{27}{16} \]

\[ a_5 = a_1 \cdot r^{4} = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)^4 \\ = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{81}{16}\right) = \frac{81}{32} \]

\[ a_6 = a_1 \cdot r^{5} = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)^5 \\ = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{243}{32}\right) = -\frac{243}{64} \]

\[ a_7 = a_1 \cdot r^{6} = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)^6 \\ = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{729}{64}\right) = \frac{729}{128} \]

\[ a_8 = a_1 \cdot r^{7} = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)^7 \\ = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{2187}{128}\right) = -\frac{2187}{256} \]

\[ a_9 = a_1 \cdot r^{8} = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)^8 \\ = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{6561}{256}\right) = \frac{6561}{512} \]

\[ a_{10} = a_1 \cdot r^{9} = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)^9 \\ = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{19683}{512}\right) = -\frac{19683}{1024} \]

Assim, temos os valores dos termos \( a_4 \) a \( a_{10} \):\[ a_4 = -\frac{27}{16} \]\[ a_5 = \frac{81}{32} \]\[ a_6 = -\frac{243}{64} \]\[ a_7 = \frac{729}{128} \]\[ a_8 = -\frac{2187}{256} \]\[ a_9 = \frac{6561}{512} \]\[ a_{10} = -\frac{19683}{1024} \]