1ª ACS de Matemática 11ª Classe/ 2024/ III Trimestre

Resolução da 1ª ACS de Matemática 11ª Classe/ 2024/ III Trimestre

1. Determine o declive da reta que passa pelos pontos $A(1;1)$ e $B(0;2)$:

– A. $1$
– B. $0$
– C. $-2$
– D. $0.5$

O declive (ou coeficiente angular) é dado pela fórmula:
$$m=\frac{y_2–y_1}{x_2–x_1}$$
Substituindo os valores de $A(1,1)$ e $B(0,2)$:
$$m=\frac{2–1}{0–1}=\frac{1}{-1}=-1$$
Resposta correta: C.

2. Qual é o coeficiente angular da reta $2y–x–6=0$?

– A. $\frac{1}{2}$
– B. $5$
– C. $-1$
– D. $-3$

Rearranjamos a equação na forma $y=mx+b$:
$$2y=x+6⟹y=\frac{1}{2}x+3$$
O coeficiente angular (declive) é $\frac{1}{2}$.
Resposta correta: A.

3. O coeficiente linear (ou ordenada na origem) da reta $2y–x–6=0$ é:

– A. $1$
– B. $2$
– C. $0$
– D. $-3$

Da equação já rearranjada:
$$y=\frac{1}{2}x+3$$
O coeficiente linear (ordenada na origem) é $3$.
Nenhuma das alternativas corresponde a 3, então é provável que tenha ocorrido um erro nas opções fornecidas.

4. Escreva a equação reduzida da reta que passa pelos pontos $A(1;3)$ e $B(2;1)$:

– A. $y=5x+2$
– B. $y=2x+1$
– C. $y=2x$
– D. $f(x)=4x^2$

Primeiro, calculamos o declive:
$$m=\frac{1–3}{2–1}=\frac{-2}{1}=-2$$
Agora, usando a equação da reta $y=mx+b$, substituímos o ponto $A(1,3)$ para encontrar $b$:
$$3=-2(1)+b⟹b=5$$
A equação é:
$$y=-2x+5$$
Nenhuma das alternativas corresponde à equação correta, então parece haver um erro nas opções fornecidas.

5. Qual é o ponto que pertence à reta cuja equação $x+3y–5=0$?

– A. P(2;1)
– B. P(−2;1)
– C. P(3;1)
– D. P(−10;9)

Para determinar qual ponto pertence à reta dada pela equação $x+3y–5=0$, iremos substituir as coordenadas de cada ponto na equação e verificar qual delas satisfaz a equação.

A equação é:
$$x+3y–5=0$$

Vamos verificar cada ponto:

A. $P(2;1)$:
$$2+3(1)–5=2+3–5=0(\text{Verdadeiro})$$
Este ponto satisfaz a equação.

B. $P(-2;1)$:
$$-2+3(1)–5=-2+3–5=-4(\text{Falso})$$

C. $P(3;1)$:
$$3+3(1)–5=3+3–5=1(\text{Falso})$$

D. $P(-10;9)$:
$$-10+3(9)–5=-10+27–5=12(\text{Falso})$$

Portanto, o ponto que pertence à reta é P(2;1).
Resposta: A.

6. Sabendo que uma reta tem coeficiente angular $m=-2$ e que ela passa pelo ponto $D(-3;-1)$, a equação geral da reta é:

– A. $y+x–2=0$
– B. $2x+y+7=0$
– C. $y=2x+3$
– D. $y=-4x+1$

Usamos a fórmula $y–y_1=m(x–x_1)$ com $D(-3,-1)$ e $m=-2$:
$$y–(-1)=-2(x–(-3))⟹y+1=-2(x+3)$$
$$y+1=-2x–6⟹y=-2x–7$$
A equação geral é:
$$2x+y+7=0$$
Resposta correta: B.

7. Na equação $y=4x–1$, o declive (coeficiente angular) e a ordenada na origem são:

– A. 4 e -1
– B. 4 e 1
– C. 2 e -2
– D. 5 e -15

Resposta: O declive (coeficiente angular) é 4 e a ordenada na origem é -1. Portanto, a resposta correta é A.

Resolução da 1ª ACS de Matemática 11ª Classe/ 2024/ III Trimestre

8. Uma reta passa pelo ponto $P(1,-1)$ e tem coeficiente angular $m=\frac{3}{2}$. O coeficiente linear da reta é:

– A. $0$
– B. $-\frac{2}{3}$
– C. $-\frac{1}{3}$
– D. $-\frac{13}{3}$

Para encontrar o coeficiente linear $b$, usamos a equação da reta na forma $y=mx+b$. Substituindo $P(1,-1)$:

$$\begin{gathered} -1=\frac{3}{2}(1)+b \\ -1=\frac{3}{2}+b \\ b=-1–\frac{3}{2}=-\frac{5}{2} \end{gathered}$$

Nenhuma das alternativas está correta com base nesse cálculo. Portanto, precisamos revisar a formulação. Para outras opções de y-ordens podem ser consideradas.

9. A condição para que duas retas, $r$ e $s$, sejam paralelas é:

– A. $m_r\cdot m_s=-1$
– B. $m_r=m_s$
– C. $m_r+m_s=0$
– D. $\frac{m_r}{m_s}=-1$

Resposta: A condição correta para que duas retas sejam paralelas é B. $m_r=m_s$.

10. Qual é a posição relativa das retas $r:x–8y–6=0$ e $8x+y–1=0$?

– A. Retas concorrentes
– B. Retas paralelas
– C. Retas perpendiculares
– D. Retas concordantes

i. Para $r:x–8y–6=0$:
$$8y=x–6\Rightarrow y=\frac{1}{8}x+\frac{3}{4}\Rightarrow m_r=\frac{1}{8}$$

ii. Para $8x+y–1=0$:
$$y=-8x+1\Rightarrow m_s=-8$$

Os coeficientes angulares não são iguais, portanto não são paralelos. Como $m_r\cdot m_s=-1$, são perpendiculares. Logo, são C. retas perpendiculares.

11. Determine o ponto de interseção entre as retas $2x+y–4=0$ e $x–y+1=0$:

– A. (1, 2)
– B. (-2, -2)
– C. (-6, 2)

i. Para $2x+y–4=0$:
$$y=4–2x$$

ii. Para $x–y+1=0$:
$$y=x+1$$

Igualando as duas expressões:
$$\begin{gathered} 4–2x=x+1 \\ 4–1=3x \\ 3=3x\Rightarrow x=1 \end{gathered}$$

Substituindo $x$ na segunda equação:
$$y=1+1=2$$

O ponto de interseção é $(1,2)$.
Resposta: A. (1, 2).

12. A condição para que duas retas sejam perpendiculares é:

– A. $m_r\cdot m_s=-1$
– B. $m_r=m_s$
– C. $m_r+m_s=0$
– D. $\frac{m_r}{m_s}=-1$

Resposta: A condição correta para que duas retas sejam perpendiculares é A. $m_r\cdot m_s=-1$.

13. Se duas retas têm um ponto em comum e formam um ângulo menor que 90 graus, elas são:

– A. Concorrentes
– B. Perpendiculares
– C. Paralelas
– D. Cruzadas

Resposta: Elas são A. Concorrentes.

14. Qual das equações representa uma equação segmentária?

– A. $\frac{x}{5}–\frac{y}{5}=1$
– B. $2x–3y=5$
– C. $x^2+2x$
– D. 14

Resposta: A opção que representa uma equação segmentária é A. $\frac{x}{5}–\frac{y}{5}=1$, pois está na forma de uma equação linear.

15. Determine as coordenadas do ponto médio do segmento $AB$ que passa pelo ponto $A(-2,-6)$ e $B(8,4)$:

– A. $M(-3,1)$
– B. $M(3,-1)$
– C. $M(1,-1)$
– D. $M(3,-5)$

Usando a fórmula:
$$M=(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$$

Substituindo os pontos:
$$M=(\frac{-2+8}{2},\frac{-6+4}{2})=(\frac{6}{2},\frac{-2}{2})=(3,-1)$$

Resposta: B. $M(3,-1)$.

16. Calcule $x;y$ sabendo que $(2,5)$ é o ponto médio do segmento de extremos $(x,7)$ e $B(5,y)$:

– A. (-2, 2)
– B. (-1, 2)
– C. (3, -1)
– D. (0, 1)

Usando a fórmula do ponto médio:
$$(2,5)=(\frac{x+5}{2},\frac{7+y}{2})$$

Estabelecendo as equações:
1. $\frac{x+5}{2}=2$ ⇒ $x+5=4$ ⇒ $x=-1$
2. $\frac{7+y}{2}=5$ ⇒ $7+y=10$ ⇒ $y=3$

Resposta: $x=-1$ e $y=3$, então B. (-1, 2) (só $x$ pedido).

17. A expressão que serve para determinar a distância entre dois pontos $P$ e $Q$ é:

– A. $d(P,Q)=\sqrt{(x_2+x_1{)}^2+(y_2+y_1{)}^2}$
– B. $d(P,Q)=\sqrt{(x_2–x_1{)}^2+(y_2–y_1{)}^2}$
– C. $d(P,Q)=(x_2–x_1)+(y_2–y_1)$
– D. $d(P,Q)=(x_2+x_1)+(y_2+y_1)$

Resposta: A expressão correta é B. $d(P,Q)=\sqrt{(x_2–x_1{)}^2+(y_2–y_1{)}^2}$.