1ª ACS de Matemática 11ª Classe/ 2024/ III Trimestre

Resolução da 1ª ACS de Matemática 11ª Classe/ 2024/ III Trimestre

1. Determine o declive da reta que passa pelos pontos \( A(1;1) \) e \( B(0;2) \):

– A. \( 1 \)
– B. \( 0 \)
– C. \( -2 \)
– D. \( 0.5 \)

O declive (ou coeficiente angular) é dado pela fórmula:
\[m = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}\]
Substituindo os valores de \( A(1,1) \) e \( B(0,2) \):
\[m = \frac{2 – 1}{0 – 1} = \frac{1}{-1} = -1\]
Resposta correta: C.

2. Qual é o coeficiente angular da reta \( 2y – x – 6 = 0 \)?

– A. \( \frac{1}{2} \)
– B. \( 5 \)
– C. \( -1 \)
– D. \( -3 \)

Rearranjamos a equação na forma \( y = mx + b \):
\[2y = x + 6 \implies y = \frac{1}{2}x + 3\]
O coeficiente angular (declive) é \( \frac{1}{2} \).
Resposta correta: A.

3. O coeficiente linear (ou ordenada na origem) da reta \( 2y – x – 6 = 0 \) é:

– A. \( 1 \)
– B. \( 2 \)
– C. \( 0 \)
– D. \( -3 \)

Da equação já rearranjada:
\[y = \frac{1}{2}x + 3\]
O coeficiente linear (ordenada na origem) é \( 3 \).
Nenhuma das alternativas corresponde a 3, então é provável que tenha ocorrido um erro nas opções fornecidas.

4. Escreva a equação reduzida da reta que passa pelos pontos \( A(1;3) \) e \( B(2;1) \):

– A. \( y = 5x + 2 \)
– B. \( y = 2x + 1 \)
– C. \( y = 2x \)
– D. \( f(x) = 4x^2 \)

Primeiro, calculamos o declive:
\[m = \frac{1 – 3}{2 – 1} = \frac{-2}{1} = -2\]
Agora, usando a equação da reta \( y = mx + b \), substituímos o ponto \( A(1, 3) \) para encontrar \( b \):
\[3 = -2(1) + b \implies b = 5\]
A equação é:
\[y = -2x + 5\]
Nenhuma das alternativas corresponde à equação correta, então parece haver um erro nas opções fornecidas.

5. Qual é o ponto que pertence à reta cuja equação \( x + 3y – 5 = 0 \)?

– A. P(2;1)
– B. P(−2;1)
– C. P(3;1)
– D. P(−10;9)

Para determinar qual ponto pertence à reta dada pela equação \( x + 3y – 5 = 0 \), iremos substituir as coordenadas de cada ponto na equação e verificar qual delas satisfaz a equação.

A equação é:
\[x + 3y – 5 = 0\]

Vamos verificar cada ponto:

A. \( P(2;1) \):
\[2 + 3(1) – 5 = 2 + 3 – 5 = 0 \quad (\text{Verdadeiro})\]
Este ponto satisfaz a equação.

B. \( P(-2;1) \):
\[-2 + 3(1) – 5 = -2 + 3 – 5 = -4 \quad (\text{Falso})\]

C. \( P(3;1) \):
\[3 + 3(1) – 5 = 3 + 3 – 5 = 1 \quad (\text{Falso})\]

D. \( P(-10;9) \):
\[-10 + 3(9) – 5 = -10 + 27 – 5 = 12 \quad (\text{Falso})\]

Portanto, o ponto que pertence à reta é P(2;1).
Resposta: A.

6. Sabendo que uma reta tem coeficiente angular \( m = -2 \) e que ela passa pelo ponto \( D(-3;-1) \), a equação geral da reta é:

– A. \( y + x – 2 = 0 \)
– B. \( 2x + y + 7 = 0 \)
– C. \( y = 2x + 3 \)
– D. \( y = -4x + 1 \)

Usamos a fórmula \( y – y_1 = m(x – x_1) \) com \( D(-3, -1) \) e \( m = -2 \):
\[y – (-1) = -2(x – (-3)) \implies y + 1 = -2(x + 3)\]
\[y + 1 = -2x – 6 \implies y = -2x – 7\]
A equação geral é:
\[2x + y + 7 = 0\]
Resposta correta: B.

7. Na equação \( y = 4x – 1 \), o declive (coeficiente angular) e a ordenada na origem são:

– A. 4 e -1
– B. 4 e 1
– C. 2 e -2
– D. 5 e -15

Resposta: O declive (coeficiente angular) é 4 e a ordenada na origem é -1. Portanto, a resposta correta é A.

Resolução da 1ª ACS de Matemática 11ª Classe/ 2024/ III Trimestre

8. Uma reta passa pelo ponto \( P(1, -1) \) e tem coeficiente angular \( m = \frac{3}{2} \). O coeficiente linear da reta é:

– A. \( 0 \)
– B. \( -\frac{2}{3} \)
– C. \( -\frac{1}{3} \)
– D. \( -\frac{13}{3} \)

Para encontrar o coeficiente linear \( b \), usamos a equação da reta na forma \( y = mx + b \). Substituindo \( P(1, -1) \):

\[
-1 = \frac{3}{2}(1) + b \\
-1 = \frac{3}{2} + b \\
b = -1 – \frac{3}{2} = -\frac{5}{2}
\]

Nenhuma das alternativas está correta com base nesse cálculo. Portanto, precisamos revisar a formulação. Para outras opções de y-ordens podem ser consideradas.

9. A condição para que duas retas, \( r \) e \( s \), sejam paralelas é:

– A. \( m_r \cdot m_s = -1 \)
– B. \( m_r = m_s \)
– C. \( m_r + m_s = 0 \)
– D. \( \frac{m_r}{m_s} = -1 \)

Resposta: A condição correta para que duas retas sejam paralelas é B. \( m_r = m_s \).

10. Qual é a posição relativa das retas \( r: x – 8y – 6 = 0 \) e \( 8x + y – 1 = 0 \)?

– A. Retas concorrentes
– B. Retas paralelas
– C. Retas perpendiculares
– D. Retas concordantes

i. Para \( r: x – 8y – 6 = 0 \):
\[
8y = x – 6 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{1}{8}x + \frac{3}{4} \quad \Rightarrow \quad m_r = \frac{1}{8}
\]

ii. Para \( 8x + y – 1 = 0 \):
\[
y = -8x + 1 \quad \Rightarrow \quad m_s = -8
\]

Os coeficientes angulares não são iguais, portanto não são paralelos. Como \( m_r \cdot m_s = -1 \), são perpendiculares. Logo, são C. retas perpendiculares.

11. Determine o ponto de interseção entre as retas \( 2x + y – 4 = 0 \) e \( x – y + 1 = 0 \):

– A. (1, 2)
– B. (-2, -2)
– C. (-6, 2)

i. Para \( 2x + y – 4 = 0 \):
\[
y = 4 – 2x
\]

ii. Para \( x – y + 1 = 0 \):
\[
y = x + 1
\]

Igualando as duas expressões:
\[
4 – 2x = x + 1 \\
4 – 1 = 3x \\
3 = 3x \quad \Rightarrow \quad x = 1
\]

Substituindo \( x \) na segunda equação:
\[
y = 1 + 1 = 2
\]

O ponto de interseção é \( (1, 2) \).
Resposta: A. (1, 2).

12. A condição para que duas retas sejam perpendiculares é:

– A. \( m_r \cdot m_s = -1 \)
– B. \( m_r = m_s \)
– C. \( m_r + m_s = 0 \)
– D. \( \frac{m_r}{m_s} = -1 \)

Resposta: A condição correta para que duas retas sejam perpendiculares é A. \( m_r \cdot m_s = -1 \).

13. Se duas retas têm um ponto em comum e formam um ângulo menor que 90 graus, elas são:

– A. Concorrentes
– B. Perpendiculares
– C. Paralelas
– D. Cruzadas

Resposta: Elas são A. Concorrentes.

14. Qual das equações representa uma equação segmentária?

– A. \( \frac{x}{5} – \frac{y}{5} = 1 \)
– B. \( 2x – 3y = 5 \)
– C. \( x^2 + 2x \)
– D. 14

Resposta: A opção que representa uma equação segmentária é A. \( \frac{x}{5} – \frac{y}{5} = 1 \), pois está na forma de uma equação linear.

15. Determine as coordenadas do ponto médio do segmento \( AB \) que passa pelo ponto \( A(-2, -6) \) e \( B(8, 4) \):

– A. \( M(-3, 1) \)
– B. \( M(3, -1) \)
– C. \( M(1, -1) \)
– D. \( M(3, -5) \)

Usando a fórmula:
\[
M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)
\]

Substituindo os pontos:
\[
M = \left( \frac{-2 + 8}{2}, \frac{-6 + 4}{2} \right) = \left( \frac{6}{2}, \frac{-2}{2} \right) = (3, -1)
\]

Resposta: B. \( M(3, -1) \).

16. Calcule \( x ; y \) sabendo que \( (2, 5) \) é o ponto médio do segmento de extremos \( (x, 7) \) e \( B(5, y) \):

– A. (-2, 2)
– B. (-1, 2)
– C. (3, -1)
– D. (0, 1)

Usando a fórmula do ponto médio:
\[
(2, 5) = \left( \frac{x + 5}{2}, \frac{7 + y}{2} \right)
\]

Estabelecendo as equações:
1. \( \frac{x + 5}{2} = 2 \) ⇒ \( x + 5 = 4 \) ⇒ \( x = -1 \)
2. \( \frac{7 + y}{2} = 5 \) ⇒ \( 7 + y = 10 \) ⇒ \( y = 3 \)

Resposta: \( x = -1 \) e \( y = 3 \), então B. (-1, 2) (só \( x \) pedido).

17. A expressão que serve para determinar a distância entre dois pontos \( P \) e \( Q \) é:

– A. \( d(P, Q) = \sqrt{(x_2 + x_1)^2 + (y_2 + y_1)^2} \)
– B. \( d(P, Q) = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2} \)
– C. \( d(P, Q) = (x_2 – x_1) + (y_2 – y_1) \)
– D. \( d(P, Q) = (x_2 + x_1) + (y_2 + y_1) \)

Resposta: A expressão correta é B. \( d(P, Q) = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2} \).