2ª ACS DE MATEMÁTICA – 3º TRIMESTRE / 2024; 11ª CLASSE

Exercícios:

1) Dados os pontos A(2, -1) e B(-1, 4) e os vetores \( \vec{u} = (-1, 3) \) e \( \vec{v} = (-2, -1) \), determinar: a) \( \vec{u} \cdot \vec{1} \)

b) \( |\vec{u} +\vec{v}| \)

c) \( |2 \vec{u} – 3 \vec{v} | \)

d) a distância entre os pontos A e B.

—

2) Determine os pontos médios dos lados de um triângulo cujos vértices são: A(1, 2), B(6, 4) e C(3, 7).

—

3) Calcule as coordenadas do ponto B, sabendo-se que o ponto A tem coordenadas (2, 1) e o segmento AB tem como ponto médio M(3, 3). —

4) Os pontos A(0, 4), B(3, 1) e D \( (2 \sqrt{2}, 2) \) pertencem a uma circunferência de centro C. [AB] e [DE] são diâmetros da circunferência. Esboce a circunferência, represente os diâmetros [AB] e [DE] e determine as coordenadas do ponto E.

Resolução

Exercício 1)

Dados os pontos A(2, -1) e B(-1, 4) e os vetores \( \vec{u} = (-1, 3) \) e \( \vec{v} = (-2, -1) \), determinar:

a) \( \vec{u} \cdot \vec{1} \)

O produto escalar \( \vec{u} \cdot \vec{1} \) significa multiplicar cada componente de \( \vec{u} = (-1, 3) \) por 1:

\[
\vec{u} \cdot \vec{1} = (-1 \cdot 1, 3 \cdot 1) = (-1, 3)
\]

—

b) \( |\vec{u} + \vec{v}| \)

Primeiro somamos os vetores \( \vec{u} \) e \( \vec{v} \):

\[
\vec{u} + \vec{v} = (-1, 3) + (-2, -1) = (-1 – 2, 3 + (-1)) = (-3, 2)
\]

Agora, calculamos o módulo (ou norma) do vetor resultante:

\[
|\vec{u} + \vec{v}| = \sqrt{(-3)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}
\]

—

c) \( |2 \vec{u} – 3 \vec{v}| \)

Primeiro multiplicamos \( 2 \vec{u} \) e \( 3 \vec{v} \):

\[
2 \vec{u} = 2(-1, 3) = (-2, 6)
\]
\[
3 \vec{v} = 3(-2, -1) = (-6, -3)
\]

Agora, subtraímos os vetores:

\[
2 \vec{u} – 3 \vec{v} = (-2, 6) – (-6, -3) = (-2 + 6, 6 – (-3)) = (4, 9)
\]

Finalmente, calculamos o módulo:

\[
|2 \vec{u} – 3 \vec{v}| = \sqrt{4^2 + 9^2} = \sqrt{16 + 81} = \sqrt{97}
\]

—

d) A distância entre os pontos A e B

A fórmula da distância entre dois pontos \( A(x_1, y_1) \) e \( B(x_2, y_2) \) é:

\[
d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}
\]

Substituímos as coordenadas dos pontos A(2, -1) e B(-1, 4):

\[
d = \sqrt{(-1 – 2)^2 + (4 – (-1))^2} = \sqrt{(-3)^2 + (5)^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}
\]

—

Exercício 2)

Determine os pontos médios dos lados de um triângulo cujos vértices são: A(1, 2), B(6, 4) e C(3, 7).

A fórmula para o ponto médio \( M \) entre dois pontos \( A(x_1, y_1) \) e \( B(x_2, y_2) \) é:

\[
M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)
\]

– Para o lado AB:

\[
M_{AB} = \left( \frac{1 + 6}{2}, \frac{2 + 4}{2} \right) = \left( \frac{7}{2}, \frac{6}{2} \right) = (3.5, 3)
\]

– Para o lado BC:

\[
M_{BC} = \left( \frac{6 + 3}{2}, \frac{4 + 7}{2} \right) = \left( \frac{9}{2}, \frac{11}{2} \right) = (4.5, 5.5)
\]

– Para o lado CA:

\[
M_{CA} = \left( \frac{3 + 1}{2}, \frac{7 + 2}{2} \right) = \left( \frac{4}{2}, \frac{9}{2} \right) = (2, 4.5)
\]

—

Exercício 3)

Calcule as coordenadas do ponto B, sabendo-se que o ponto A tem coordenadas (2, 1) e o segmento AB tem como ponto médio M(3, 3).

A fórmula do ponto médio \( M \) entre dois pontos \( A(x_1, y_1) \) e \( B(x_2, y_2) \) é:

\[
M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)
\]

Sabemos que o ponto médio M(3, 3), o ponto A(2, 1), e queremos encontrar B(x, y). Usamos a fórmula do ponto médio:

\[
3 = \frac{2 + x}{2} \quad \text{e} \quad 3 = \frac{1 + y}{2}
\]

Resolvendo para \( x \) e \( y \):

\[
2 \times 3 = 2 + x \quad \Rightarrow \quad 6 = 2 + x \quad \Rightarrow \quad x = 4
\]
\[
2 \times 3 = 1 + y \quad \Rightarrow \quad 6 = 1 + y \quad \Rightarrow \quad y = 5
\]

Portanto, as coordenadas do ponto B são \( B(4, 5) \).

—

Exercício 4)

Os pontos A(0, 4), B(3, 1) e D \( (2 \sqrt{2}, 2) \) pertencem a uma circunferência de centro C. [AB] e [DE] são diâmetros da circunferência. Esboce a circunferência, represente os diâmetros [AB] e [DE] e determine as coordenadas do ponto E.

– O centro de uma circunferência está no ponto médio de seus diâmetros.
– Primeiro, calculamos o ponto médio de \( [AB] \), que será o centro da circunferência.

Ponto médio \( M_{AB} \):

\[
M_{AB} = \left( \frac{0 + 3}{2}, \frac{4 + 1}{2} \right) = \left( \frac{3}{2}, \frac{5}{2} \right) = \left( 1.5, 2.5 \right)
\]

Esse é o centro da circunferência.

– Como \( [DE] \) também é um diâmetro, o ponto médio de \( [DE] \) deve coincidir com \( M_{AB} \). Sabemos que \( D = (2 \sqrt{2}, 2) \) e o centro é \( (1.5, 2.5) \). Usamos a fórmula do ponto médio para encontrar \( E \):

\[
(1.5, 2.5) = \left( \frac{2 \sqrt{2} + x}{2}, \frac{2 + y}{2} \right)
\]

Resolvendo para \( x \) e \( y \):

\[
1.5 = \frac{2 \sqrt{2} + x}{2} \quad \Rightarrow \quad 3 = 2 \sqrt{2} + x \quad \Rightarrow \quad x = 3 – 2 \sqrt{2}
\]
\[
2.5 = \frac{2 + y}{2} \quad \Rightarrow \quad 5 = 2 + y \quad \Rightarrow \quad y = 3
\]

Portanto, as coordenadas do ponto \( E \) são \( \left( 3 – 2 \sqrt{2}, 3 \right) \).